Diberikan vektor-vektor \( \vec{a} = x \hat{i} – 3x \hat{j} + 6y \hat{k} \) dan \( \vec{b} = (1-y) \hat{i} +3 \hat{j} – (1+x) \hat{k} \) dengan \(x > 0 \). Jika \( \vec{a} \) dan \( \vec{b} \) sejajar, maka \( \vec{a}+3\vec{b} = \cdots \) (SPMB 2006)
- \( \vec{0} \)
- \( -7 \hat{i} + 21 \hat{j} + 21 \hat{k} \)
- \( \hat{i} - 3 \hat{j} - 3 \hat{k} \)
- \( 2 \hat{i} + 3 \hat{j} -3 \hat{k} \)
- \( -6 \hat{i} - 24 \hat{k} \)
Pembahasan:
Karena vektor \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) sejajar, maka dapat kita peroleh berikut:
\begin{aligned} \vec{a} = k \cdot \vec{b} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} x \\[8pt] -3x \\[8pt] 6y \end{pmatrix} &= k \cdot \begin{pmatrix} 1-y \\[8pt] 3 \\[8pt] -(1+x) \end{pmatrix} \\[8pt] \begin{pmatrix} x \\[8pt] -3x \\[8pt] 6y \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k-ky \\[8pt] 3k \\[8pt] -k-kx \end{pmatrix} \\[8pt] -3x &= 3k \Leftrightarrow -x = k \\[8pt] x &= k-ky \\[8pt] x &= -x+xy \Leftrightarrow 2x=2xy \Leftrightarrow y = 2 \\[8pt] 6y &= -k-kx \Leftrightarrow 6(2)=-(-x)-(-x)x \\[8pt] 12 &= x+x^2 \\[8pt] 0 &= x^2+x-12 \\[8pt] 0 &= (x+4)(x-3) \\[8pt] x &= -4 \ \text{atau} \ x = 3 \end{aligned}
Karena syarat \(x>0\), maka nilai \(x\) yang memenuhi adalah \(x=3\). Untuk \( x = 3 \) dan \( y = 2 \), kita peroleh:
\begin{aligned} \vec{a} &= x \ \hat{i}-3x \ \hat{j} + 6y \ \hat{k} \Leftrightarrow \vec{a} = 3 \hat{i}-9 \hat{j} + 12 \hat{k} \\[8pt] \vec{b} &= (1-y) \ \hat{i}+3 \hat{j}-(1+x) \ \hat{k} \Leftrightarrow -\hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k} \\[8pt] \vec{a}+3 \vec{b} &= (3 \hat{i}-9 \hat{j} + 12 \hat{k})+ 3 (-\hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}) \\[8pt] &= (3 \hat{i}-9 \hat{j} + 12 \hat{k})+ (-3\hat{i}+9 \hat{j}-12 \hat{k}) \\[8pt] &= \vec{0} \end{aligned}
Jawaban A.